aturan perkalian, penjumlahan, faktorial, permutasi dan kombinasi

1. Aturan penjumlahan & Perkalian

Pada dasarnya, ada dua aturan sederhana yang bisa kamu gunakan, yaitu aturan penjumlahan & perkalian. Kamu perlu selektif terhadap kedua aturan ini karena kamu tidak bisa menggunakan keduanya secara bersamaan pada sebuah soal yang sama. Penting untuk kamu memahami kapan harus memakai aturan penjumlahan dan kapan memakai aturan perkalian.
Untuk menggunakan aturan penjumlahan, kamu harus memastikan bahwa tidak ada unsur atau elemen yang sama atau berulang dalam satu kejadian. Lalu, untuk menggunakan aturan perkalian, himpunan yang kamu hitung merupakan himpunan yang saling lepas, bebas, dan memungkinkan terjadinya pengulangan unsur di dalamnya.

Aturan Perkalian pada kaidah pencacahan

       Jika terdapat n

unsur yang tersedia,
k1= banyak cara untuk menyusun unsur pertama
k2= banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
k3= banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun
dan seterusnya sampai
kn= banyak cara untuk menyusun unsur ke-n setelah objek n−1 unsur sebelumnya tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun n unsur yang tersedia adalah:
k1×k2×k3×...×kn

Catatan :
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "SEKALIGUS TERJADI" dan biasanya menggunakan kata penghubung "DAN"

Contoh soal penggunaan aturan perkalian :
1). Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?
Penyelesaian :
*). Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram
Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana.

Dari diagram di atas, banyaknya pasangan baju dan celana yang dapat digunakan oleh Budi sebanyak 6 pasang yaitu (baju putih, celana hitam), (baju putih, celana cokelat), (baju batik, celana hitam), (baju batik, celana cokelat), (baju cokelat, celana hitam), dan (baju cokelat, celana cokelat).

*). Cara II : Menggunakan aturan perkalian.
Pada soal ini kita akan menentukan banyaknya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sehingga SEKALIGUS kedua-duanya (baju dan celana) harus ada sehingga kita bisa menggunakan aturan perkalian secara langsung.
*). Unsur pertama adalah baju,
ada 3 pilihan baju, sehingga k1=3.
*). Unsur kedua adalah celana,
ada 2 pilihan celana, sehingga k2=2.
*). Total pasangan baju dan celanan :
Total pasangan =k1×k2=3×2=6.
Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda.

2). Iwan memiliki 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa banyak cara Iwan menggunakan seragam sekolah jika semua jenis harus dipakai?
Penyelesaian :
Total seragam yang mungkin terbentuk adalah
5×2×2×3×4=240 pilihan.
Jadi, ada 240 pilihan seragam yang bisa dipakai oleh Iwan.

3). Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan aturan perkalian karena jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur SEKALIGUS dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C.
Total jalur =4×3=12 jalur.

4). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
*). Plat nomor tidak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi. Misalkan palat nomor 2113 tidak boleh karena angka 1 berulang. Contoh yang boleh adalah plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya.
*). Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka.
Berikut cara pengisian masing-masing kotak :
Pilihan angkanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
i). Kotak (a), dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak (b), dapat diisi dengan 4 pilihan bilangan karena satu bilangan sudah dipakai untuk kotak (a).
iii). Kotak (c), dapat diisi dengan 3 pilihan bilangan karena dua bilangan sudah dipakai untuk kotak (a) dan (b).
iv). Kotak (d), dapat diisi dengan 2 pilihan bilangan karena tiga bilangan sudah dipakai untuk kotak (a), (b), dan (c).
Sehingga gambar lengkap kotaknya adalah :

Banyaknya plat nomor =5×4×3×2=120 plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 120 plat nomor.

5). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
Soal ini sebenarnya mirip dengan soal nomor (4), hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikt.
Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi.
*). Kita buat 4 kota karena plat nomor terdiri dari 4 angka saja.
Pilihan angkarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
Cara pengisian setiap kotak :
i). Kotak I, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak II, dapat diisi dengan 5 pilihan angka juga karena angka yang sudah dipakai pada kotak I bisa dipakai lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing.
Banyaknya plat nomor =5×5×5×5=625 plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 625 plat nomor.

Aturan Penjumlahan pada kaidah pencacahan

       Jika terdapat n

peristiwa yang saling lepas,
k1= banyak cara pada peristiwa pertama
k2= banyak cara pada peristiwa kedua
k3= banyak cara pada peristiwa ketiga
dan seterusnya sampai
kn= banyak cara pada peristiwa ke-n
Maka banyak cara untuk n buah peristiwa secara keseluruhan adalah:
k1+k2+k3+...+kn
  Catatan :
Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "TIDAK SEKALIGUS TERJADI" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "PILIHAN" dan biasanya menggunakan kata penghubung "ATAU" Contoh soal aturan penjumlahan :
6). Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?
Penyelesaian :
Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini.
*). Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan
Total cara =3+2+2=7 cara.
Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati.

7). Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?

Penyelesaian :
*). Untuk perjalanan dari kota A ke kota D bisa melalui kota B atau kota C.
Beberapa jalur yang bisa ditempuh :
Jalur Pertama : jalurnya A - B - D
A - B ada 4 jalan dan B - D ada 3 jalan,
toal jalur pertama =4×3=12
Jalur Kedua : jalurnya A - C - D
A - C ada 3 jalan dan C - D ada 3 jalan,
toal jalur kedua =3×3=9
*). Keseluruhan jalur yang ditempuh adalah melalui jalur pertama atau jalur kedua sehingga bisa menggunakan aturan penjumlahan.
Total jalur = jalur pertama + jalur kedua = 12+9=21.
Jadi, banyak kemungkinan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur.

2. Faktorial, Permutasi, & Kombinasi

Teori peluang yang akan kamu pelajari adalah faktorial, permutasi, & kombinasi. Faktorial (!) adalah hasil perkalian bilangan bulat positif, muali dari 1 hingga tidak ditentukan. Permutasi (sorting) adalah sebuah proses penyusunan anggota-anggota suatu urutan ke dalam urutan yang berbeda. Kombinasi adalah proses penggabungan beberapa anggota dari sebuah himpunan tanpa memperhatikan urutan dan susunannya.
Ketika masuk ke materi ini, kamu akan mulai berhadapan dengan beberapa rumus peluang yang digunakan untuk mencari susunan tertentu. Kamu perlu memperhatikan bentuk urutan untuk menentukan apakah itu merupakan faktorial, permutasi ataupun kombinasi.

Contoh soal faktorial dan permutasi serta pembahasannya

Faktorial merupakan penulisan singkat dari perkalian sederetan bilangan bulat positif terurut hingga 1. Permutasi merupakan suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang disedikan.
Secara umum rumus faktorial dinyatakan dengan:

n! = n . (n - 1) ! . (n - 2) ! . (n - 3)! . ... . 1 = n . (n - 1)!

Sedangkan rumus permutasi adalah sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya tentang penggunaan rumus diatas, simak pembahasan soal-soal dibawah ini.

Pembahasan soal faktorial dan permutasi

Nomor 1
6 ! = ...
A. 720
B. 620
C. 520
D. 360
E. 6

Pembahasan
6 ! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Jawaban: A

Nomor 2
5 ! x 3 ! = ...
A. 15 !
B. 10 !
C. 8 !
D. 7 !
E. 6 !

Pembahasan
5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
3 ! = 3 . 2. 1 = 6
Maka 5 ! x 3 ! = 120 x 6 = 720
720 = 6 !
Jawaban: E

Nomor 3
8 ! / 5 ! = ...
A. 336
B. 326
C. 316
D. 236
E. 226

Pembahasan

Jawaban: A

Nomor 4

A. 70
B. 50
C. 35
D. 25
E. 10


Jawaban: C

Nomor 5
n ! / (n - 1) ! = ...
A. n
B. n - 1
C. n - 2
D. n2 - 2
E. 1/n

Pembahasan

Jawaban: A

Nomor 6
Jika n! / (n - 2)! = 20, maka nilai n = ...
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
E. 2

Pembahasan
n2 - n = 20
n2 - n - 20 = 0
(n - 5) (n + 4) = 0
n = 5 atau n = -4 (tidak mungkin negatif)
Jawaban: B

Nomor 7
Nilai dari 7P3 sama dengan ...
A. 840
B. 280
C. 210
D. 70
E. 35

Pembahasan

Jawaban: C

Nomor 8
Nilai n agar nP2 = 72 adalah...
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
E. 5

Pembahasan

n² - n - 72 = 0
(n - 9) (n + 8) = 0
n = 9 atau n = -8 (tidak mungkin negatif)
Jawaban: A
 
 1. Permutasi

Permutasi adalah penyusunan atau pengaturan beberapa objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.

Misalkan suatu himpunan [a, b, c] punya 3 anggota/objek yaitu a, b, c banyak anggota himpunan tersebut disebut n = 3. Bila mengambil seluruh anggota maka r = 3. Jika 2 data yang diambil maka r = 2. Dan jika hanya 1 yang diambil maka r = 1

r = 1

a

b

c

ada 3 susunan
r = 2

ab	ac	bc
ba	ca	cb

ada 6 susunan
r = 3

abc	bac	cab
acb	bca	cba

ada 6 susunan

Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu r £ n, maka banyak susunan yang dapat dibuat dengan permutasi adalah…

Contoh : Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, dan D, hendak diplilh ketua, sekretaris dan bendahara.

1. Berapa susunan yang dapat dibuat jika data yang diambil 3
2. Buat kemungkinan susunannya

Jawab
1.    n = 4             r = 3

jadi ada 24 susunan

2.   Kemungkinan susunannya :

ABC	ABD	ACB	ACD	ADB	ADC
BAC	BAD	BCA	BCD	BDA	BDC
CAB	CAD	CBA	CBD	CDA	CDB
DAC	DAB	DBA	DBC	DCA	DCB

Jenis-Jenis permutasi
1. Permutsi melingkar (keliling)

Yaitu suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secra melingkar.

Rumus banyak permutasi : (n-1)!

Contoh : Sekelompok mahasiswa yang terdiri 7 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam beberapa cara ketujuh mahasiswa itu dapat diatur sekelilig meja bundar tersebut!

Jawab :
(n-1)!,    n = 7
Jadi = (7-1)!= 6!

 = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara

2. Permutasi dari objek dengan pengembalian
dirumuskan :

Contoh : Tentukan permutasi dari A, B, C sebanyak 2 unsur, dengan pengembalian unsur yang dipilih

Jawab :
n = 3     r = 2


Kemungkinan susunannya

AA	AB	AC
BB	BA	BC
CC	CA	CB

3. Permutasi n objek yang sama
Dirumuskan

Contoh : Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari katai “TAMAT”

Jawab
n = 5,
n1 = 2 (T)
n2 = 2 (A)
n3 = 1 (M)
Jadi

3. Kombinasi

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.

Rumus:

Contoh : Dalam suatu ruangan terdapat 50 orang yang sedang menghadiri halal bil hala. Acara penutupan adalah saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang dilakukan seluruhnya!

Jawab
n =50,  r = 2